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2005年11月3日tex記法の練習

(不等式)

1. \large \frac{a + b}2 \normal \ge \sqrt{ab}, \large \frac{a + b + c}3 \normal \ge \sqrt\[3\]{ab} (a,\,b,\,c は正または 0)

2. (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \ge (ax + by + cz)^2

(三角形)

3. \large \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} = \normal 2R

4. a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}

5. S = \large \frac12 \normal bc\sin{A} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}, \left(s = \large \frac12 \normal (a + b + c)\right)

(図形と式)

6. 数直線上の2点 x_1,\,x_2m\,:\,n に内分および外分する点:\large \frac{mx_2 + mx_1}{m + n}, \large \frac{mx_2 - mx_1}{m - n}

7. 点 (x_1,\,y_1) と直線 ax + by + c = 0 との距離, および点 (x_1,\,y_1,\,z_1) と直線 ax + by + cz + d = 0 との距離 : \large \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \large \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

8. だ円 \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 上の点 (x_1,\,y_1) における接線:\large \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1

9. 双曲線 \large \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 上の点 (x_1,\,y_1) における接線:\large \frac{x_1x}{a^2} - \frac{y_1y}{b^2} = 1

(ベクトルと行列)

10. 2つのベクトルのなす角:\cos\theta = \large \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}

11. \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)^{-1} = \large \frac1{ad - bc} \normal \left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}\right), (ad - bc \not= 0)

12. 点 (x,\,y) を原点のまわりに角 \theta 回転した点を (x^\prime,\,y^\prime) とすれば \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)

(複素数)

13. 極座標表示:z = r(\cos\theta + i\sin\theta), (r = |z|,\, \theta = \arg{z})

14. z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1), z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)に対し, z_1z_2 = r_1r_2\{\cos(\theta_1\theta_2) + i\sin(\theta_1\theta_2)\}

15. ド・モアブルの公式:z = r(\cos\theta + i\sin\theta)に対し, z^n = r^n(\cos{n\theta} + i\sin{n\theta})

(解と係数の関係)

16. x^2 + px + q = 0 の解が \alpha,\,\beta のとき, \alpha + \beta = -p, \alpha\beta = q

17. x^3 + px^2 + qx + r = 0 の解が \alpha,\,\beta,\,\gamma のとき, \alpha + \beta + \gamma = -p, \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q, \alpha\beta\gamma = -r

(対数)

18. \log_a{M} = \large \frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}

(三角関数)

19. \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

20. \tan(\alpha + \beta) = \large \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

21. \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1

22. \sin\alpha\cos\beta = \large \frac12 \normal \left\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right\}, \cos\alpha\sin\beta = \large \frac12 \normal \left\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\right\}, \cos\alpha\cos\beta = \large \frac12 \normal \left\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\right\}, \sin\alpha\sin\beta = \large \frac12 \normal \left\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\right\}

23. \sin{A} + \sin{B} = 2\sin \large \frac{A+B}2 \normal \cos \large \frac{A-B}2, \sin{A} - \sin{B} = 2\cos \large \frac{A+B}2 \normal \sin \large \frac{A-B}2, \cos{A} + \cos{B} = 2\cos \large \frac{A+B}2 \normal \cos \large \frac{A-B}2, \cos{A} - \cos{B} = -2\sin \large \frac{A+B}2 \normal \sin \large \frac{A-B}2

24. a\sin\theta+b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha), \left(\sin\alpha = \large \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \normal ,\, \cos\alpha = \large \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)

(数列)

25. 初項 a, 公差 d, 項数 n の等差数列の和:S_n = \large \frac12 \normal n(a + l) = \large \frac12 \normal n \left\{2a + (n - 1)d \right\}, (l = a + (n - 1)d)

26. 初項 a, 公比 r, 項数 n の等比数列の和:S_n = \large \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, (r \neq 1)

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